Pengenalan Turunan Fungsi Differential & Derivative

Diferensial dapat diartikan sebagai tingkat perubahan suatu fungsi atas adanya perubahan variabel bebas dari fungsi tersebut.

Misalkan fungsi :

 

(dengan y sebagai variabel terikat dan x sebagai variabel bebasnya, artinya nilai y dipengaruhi oleh nilai x)

Maka diferensial dapat diartikan sebagai tingkat perubahan dari setiap variabel ysebagai tanggapan terhadap suatu perubahan dalam variabel x.

Dalam kasus ekonomi dapat dicontohkan sebagai berikut:

• Misalkan pada fungsi permintaan, hubungan antara jumlah barang yang diminta dengan tingkat harga. Adanya perubahan tingkat harga pada suatu titik tertentu akan mempengaruhi jumlah barang yang diminta. Pada setiap kasus dan setiap titik bisa sama ataupun berbeda, bergantung terhadap jenis fungsi permintaannya itu sendiri.
• Contoh (klasik) lainnyadari suatu fungsi utility (kegunaan) atas segelas air.

Diferensial (turunan) fungsi dapat dinotasikan sebagai berikut:

Misalkan ada beberapa fungsi sebagai berikut:

Maka turunan dari fungsi-fungsi di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

Secara matematis, untuk mencari persamaan dari suatu turunan fungsi dilakukan dengan pendekatan limit fungsi, tetapi dalam pembahasan ini, kita langsung menggunakan rumus dan aturan dalam turunan guna memudahkan penyelesaian fungsi turunan.

Rumus dan aturan-aturan dalam diferensial

1) Turunan dari fungsi konstan/konstanta

 dengan k = konstanta, maka 

2) Turunan fungsi x berpangkat n

 dengan n = sembarang bilangan, maka 

3) Turunan fungsi dengan koefisien c,

 maka 

4) Aturan penjumlahan dan pengurangan fungsi dalam turunan,

 maka 

5) Aturan perkalian fungsi dalam turunan,

 maka 

6) Aturan pembagian fungsi dalam turunan,

 maka 

7) Aturan rantai dalam turunan,

 maka 

atau

 maka 

Penerapan Turunan

Di bawah ini, beberapa penerapan turunan (dalam melihat karakteristik fungsi) yang sering digunakan:

1. Kemonotonan,

Mengidentifikasi apakah fungsi (grafik fungsi) bergerak naik (ke atas) atau bergerak turun (ke bawah)

2. Titik Ekstrem (Maksimum/minimum)

Mengidentifikasi titik balik fungsi (jika ada)

3. Titik Belok

Mengidentifikasi kecekungan fungsi, apakah cekung ke atas atau ke bawah.

Sedangkan, penerapan diferensial (turunan) dalam ilmu bisnis & ekonomi (yang dipelajari) adalah sebagai berikut:

1. Elastisitas
2. Fungsi Marginal
3. Analisis minimum (pada fungsi biaya)
4. Analisis maksimal (pada fungsi laba dan pajak)

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

1. Kemonotonan

Suatu fungsi [misal f(x)] dikatakan mengalami :

> Kenaikan (naik) pada kurvanya disetiap titik x jika

; dan

> Penurunan (turun) pada kurvanya disetiap titik x jika

2. Titik Ekstrem

Titik ekstrem atau titik balik menggambarkan kondisi dimana suatu fungsi berada pada titik baliknya, apakah itu titik balik maksimum (kondisi dari naik ke turun) ataupun titik balik minimum (kondisi dari turun ke naik). Kedua titik ini (maksimum atau minimum) tercapai pada saat yang sama, yaitu pada saat turunan pertama fungsi tersebut sama dengan nol.

Fungsi f(x) mengalami titik balik (jika ada) pada saat:

3. Titik Belok

Titik belok menggabarkan kondisi perubahan arah kecekungan fungsi suatu kurva. Apakah kurva fungsi cekung ke atas atau cekung ke bawah. Apabila kondisi kurva fungsi cekung ke atas, maka pada kondisi tersebut terjadi titik balik minimum. Sedangkan, apabila kondisi kurva fungsi cekung ke bawah, maka pada kondisi tersebut terjadi titik balik maksimum.

    

Gambar 1. Kurva fungsi cekung ke bawah

Gambar 2. Kurva fungsi cekung ke atas

Titik belok terjadi pada saat turunan kedua fungsi tersebut sama dengan nol.

Fungsi f(x) mengalami titik belok (jika ada) pada saat:

Gambar 3. Kurva fungsi polinomial